RUANG-RUANG VEKTOR UMUM

  1.  Ruang-Ruang Verktor Real

Aksioma Ruang vektor

Definisi: Anggap V adalah sembarang himpunan tak kosong dari objek dimana dua operasi didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan). Penjumlahan yang kita maksud adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap pasangan objek u dan v dalam V dengan suatu objek u+v, yang disebut sebagai jumlah u dan v. Yang kita maksud dengan perkalian skalar adalah suatu aturan yang menghubungkan setiap skalar k dan setiap objek u dalam V dengan objek ku, yang disebut perkalianskalar dari u dengan k. Jika aksioma ini dipenuhi oleh semua objek u, v, w dalam V dan semua skalar k dan l, maka kita sebut V sebagai ruang vektor dan kita sebut objek dalam V sebagai vektor.

  1. jika u dan v objek-objek dalam V, maka u+v berada dalam V
  2. u+v = v+u
  3. u+(v+w) = (u+v)+w
  4. ada suatu objek 0 dalam V, yang disebut suatu vektor nol untuk V, sedemikian sehingga 0+u = u+0 = u untuk semua u dalam V
  5. untuk semua u dalam V, ada suatu objek –u dalam V, yang disebut negatif dari u, sedemikian sehingga u+(-u) = (-u)+u = 0
  6. jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang objek dalam V, maka ku ada dalam V
  7. k(u+v) = ku+kv
  8. (k+l)u = ku+lu
  9. k(lu) = (kl)u
  10. 1u = u

Sifat Vektor

Teorema: Anggap V adalah suatu ruang vektor, u suatu vektor dalam V dan k  suatu skalar, maka:

  1. 0u = 0
  2. k0 = 0
  3. (-1)u = –u
  4. Jika ku = 0, maka k=0 atau u=0
  5. B.     Subruang

Definisi Suatu subruang

Definisi: suatu himpuna bagian W dari suatu ruang vektor V disebut suatu subruang dari V jika W sendiri adalah suatu ruang vektor dibawah penjumlahan dan perkalian pada V

Contoh: Tunjukan bahwa garis yang melalui titik asal R3 merupakan suatu subruang dari R2.

Penyelesaian: Anggap W adalah garis yang melalui titik asla R3. Terbukti secara geometris bahwa jumlah dua vektor pada garis ini juga terletak pada garis tersebut. Jadi W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar sehingga W adalah subruang dari R3.

Kombinasi Vektor-Vektor

Definisi: Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linear dari vektoe-vektor v1,v2, … vr jika dapat dinyatakan dalam bentuk

w= k1v1+k2v2, … krvr

dengan k1, k2kr adalah skalar.

Contoh: Tinjau vektor u=(1,2,-1) dan v=(6,4,2) dalam R3. Tunjukan bahwa w=(9,2,7) adalah kombinasi linear dari u dan v dan bahwa w’=(4,-1,8) bukanlah kombinasi linear dari u dan v.

Penyelesaian: Agar w menjadi suatu kombinasi linear dari u dan v, haruslah ada skalar k1 dan k2 sedemikian sehingga w= k1v1+k2v2 yaitu

(9,2,7) = k1(1,2,-1)+k2(6,4,2)

atau

(9,2,7) = (k1+6k2,2k1+4k2,-k1+2k2)

Dengan menyamakan komponen-komponen yang berpadanan, kita akan mendapatkan

k1+6k2 = 9

2k1+4k2 = 2

k1+2k2=7

Menyelesaikan sistem ini akan menghasilkan k1= -3, k2 = 2, sehingga

w=-3u+2v

Demikian juga, agar w’ menjadi suatu kombinasi linear dari u dan v, harus ada skalar k1 dan k2 sedemikian sehingga w’=k1u+k2v yaitu

(4,-1,8) = k1(1,2,-1)+k2(6,4,2)

atau

(4,-1,8)=(k1+6k2,2k1+4k2,-k1+2k2)

Dengan menyamakan komponen-komponen yang berpadanan, kita akan mendapatkan

k1+6k2=4

2k1+4k2=-1

k1+2k2=8

Sistem persamaan ini tidak konsisten sehingga tidak ada skalar k1 dan k2 yang memenuhinya. Akibatnya, w’ bukanlah suatu kombinasi linear dari u dan v.

Rentang

Teorema kika v1, v2, … vr adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V, maka:

  1. Himpunan W semua kombinasi linear dari v1, v2, … vr merupakan suatu subruang dari V
  2. W adalah subruang terkecil dari V yang berisi v1, v2, … vr dalam pengertian bahwa setiap subruang lain dari V yang berisi v1, v2, … vr pasti mengandung W

Definisi: Jika S= {v1, v2, … vr} adalah suatu himpunan vektor dalam suatu ruang vektor V, maka subruang W yang mengandung semua kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S disebut ruang terentang oleh v1, v2, … vr, dan katakan bahwa vektor-vektor  v1, v2, … vr, adalah rentang W. Untuk menunjukkan bahwa W ruang terentang oleh vektor-vektor dalam himpunan S={ v1, v2, … vr} kita tuliskan

W= rent(S)      atau     W= rent { v1, v2, … vr}

Teorema: Jika S= { v1, v2, … vr} dan S’= { w1, w2, … wr} adalah dua himpunan dalam suatu ruang vektor V, maka

rent{ v1, v2, … vr} = rent{ w1, w2, … wr}

Jika dan hanya jika setiap vektor dalam S adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S’, dan sebaliknya setiap vektor dalam S’ adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S.

About ANGGREQ'S BLOG

Anggraeni Qoriah | UNSIKA |KARAWANG

Posted on Mei 28, 2012, in Uncategorized. Bookmark the permalink. Tinggalkan komentar.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: